Le binaire : comment 0 et 1 portent toute l'information

Un texte, une photo, une chanson, un virement bancaire : dans un ordinateur ou un téléphone, tout cela est stocké et transporté sous la même forme, une suite de 0 et de 1. Ce choix de deux symboles seulement paraît pauvre. Il est pourtant la raison pour laquelle l'électronique numérique est fiable, rapide et bon marché.

Cet article donne une vue d'ensemble en six temps :

1. Les bases : ce que sont un bit et un nombre binaire.
2. L'histoire : qui a eu l'idée, et comment plusieurs idées séparées se sont rejointes.
3. L'algèbre de Boole : comment on raisonne avec le vrai et le faux.
4. Les portes logiques : comment ce raisonnement devient un composant.
5. La bascule : comment un circuit apprend à retenir une donnée.
6. L'électronique : comment un 0 et un 1 vivent concrètement dans une puce.

Il s'adresse à deux publics : les débutants, qui trouveront chaque terme défini à sa première apparition, et les spécialistes, qui retrouveront des approfondissements dans les encadrés « Pour aller plus loin ». Les encadrés « Pont de compréhension » comblent les notions qu'on croit souvent acquises alors qu'elles ne le sont pas. Les parties 3, 5 et 6 sont volontairement des aperçus : chacune sera détaillée dans un article dédié de la même série.

01Les bases : bit, octet, système binaire

• Bit (contraction de l'anglais binary digit, « chiffre binaire ») : la plus petite quantité d'information, qui ne peut valoir que 0 ou 1. Une question à laquelle on répond par oui ou non vaut un bit.
• Système binaire (ou base 2) : une façon d'écrire les nombres avec deux chiffres seulement. Notre système habituel, le décimal (base 10), en utilise dix.
• Octet : un groupe de 8 bits.

Le principe : en décimal, chaque position vaut dix fois la précédente (unités, dizaines, centaines…). En binaire, chaque position vaut deux fois la précédente : 1, 2, 4, 8, 16, 32…

Exemple chiffré : écrire 13 en binaire

On décompose 13 en puissances de deux : 13 = 8 + 4 + 0 + 1. On écrit un 1 pour chaque valeur utilisée et un 0 pour chaque valeur non utilisée :

Donc 13 s'écrit 1101 en binaire. Dans l'autre sens, 1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13.

Combien de valeurs avec n bits ?

Chaque bit supplémentaire double le nombre de combinaisons. Avec 1 bit : 2 valeurs. Avec 2 bits : 4 (00, 01, 10, 11). Avec 3 bits : 8. Avec 8 bits (un octet) : 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256 valeurs, soit les nombres de 0 à 255 (11111111 en binaire).

02Histoire du binaire : des idées qui mettent des siècles à se rejoindre

Le binaire n'a pas été inventé d'un coup pour fabriquer des ordinateurs. Des idées indépendantes, nées pour d'autres raisons, se sont rencontrées au XXe siècle : une façon d'écrire les nombres (Harriot, Caramuel, Leibniz), une façon de calculer sur le vrai et le faux (Boole), une façon de réaliser tout cela avec des interrupteurs (Nakashima, Shannon) et la mémoire électronique (Eccles et Jordan).

Écrire les nombres avec deux chiffres : Harriot, Caramuel, Leibniz

Des manuscrits inédits de l'Anglais Thomas Harriot (1560-1621) montrent qu'il utilisait déjà les chiffres 0 et 1 vers 1600, sans y voir d'application pratique. En 1670, l'Espagnol Juan Caramuel publie un ouvrage qui étudie la base deux, probablement la première publication européenne sur le sujet. Mais c'est Leibniz qui expose le système de façon aboutie.

Leibniz est considéré comme le premier mathématicien à avoir exposé le système binaire de façon aboutie. Un manuscrit du 15 mars 1679 évoque déjà une calculatrice binaire mécanique à billes, qui ne sera jamais construite. En 1703, après une correspondance avec le jésuite Joachim Bouvet, missionnaire en Chine, qui reconnaît dans les hexagrammes du Yi Jing (« Livre des mutations ») les nombres binaires de Leibniz, celui-ci envoie à l'Académie royale des sciences de Paris son « Explication de l'arithmétique binaire », imprimée en 1705. Pour lui, le binaire est d'abord un outil de réflexion mathématique et philosophique, pas un outil de calcul pratique.

George Boole : une algèbre pour la logique (1854)

En 1854, Boole publie « An Investigation of the Laws of Thought, on Which Are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities » (« Recherche sur les lois de la pensée »). Son idée centrale : le raisonnement logique (vrai/faux, et, ou, non) peut s'écrire avec des symboles et obéir à des règles de calcul. C'est l'algèbre de Boole, objet de la section 3. Boole ne pensait pas à des machines : son travail est resté pendant des décennies un sujet de logique et de mathématiques.

William Eccles et Frank Jordan : la bascule électronique (1918)

Le 21 juin 1918, Eccles et Jordan déposent un brevet britannique pour un circuit à deux tubes à vide (des ampoules de verre qui commandent le passage du courant) qui possède deux états stables, et le décrivent en 1919 dans la revue The Electrician. Ils pensaient à la télégraphie et à la téléphonie, pas à l'informatique. Le nom « flip-flop » s'impose ensuite. Le circuit sera repris dans le calculateur de déchiffrement Colossus (1943, ou 1944 selon les sources), puis dans l'ENIAC, et deviendra l'élément de base de la mémoire électronique. Nous y revenons à la section 5.

Nakashima et Shannon : relier l'algèbre de Boole à l'électricité (1934-1938)

Dans les années 1930, plusieurs ingénieurs comprennent, indépendamment, que l'algèbre de Boole décrit les circuits à relais : Nakashima au Japon, Victor Shestakov en URSS, puis Shannon. Dans son mémoire de master de 1937, publié en 1938, « A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits », Shannon montre qu'on peut s'en servir pour simplifier les circuits des centraux téléphoniques, et inversement que des relais peuvent résoudre des problèmes d'algèbre de Boole. Son travail, plus général, éclipse les deux autres et fonde la conception moderne des circuits numériques.

En 1948, dans « A Mathematical Theory of Communication », publié dans le Bell System Technical Journal, Shannon fonde la théorie de l'information. Il y note qu'une bascule, ayant deux états stables, peut stocker un bit d'information. Les fils de l'histoire sont réunis.

03L'algèbre de Boole : raisonner avec le vrai et le faux

3.1 L'idée : transformer une question en variable

Une variable booléenne est une grandeur qui ne peut valoir que 0 (faux) ou 1 (vrai). Chaque fois qu'on peut répondre à une question par oui ou non, on peut la noter par une variable :

• A = « la porte est ouverte » : A vaut 1 si oui, 0 sinon.
• B = « il pleut » : B vaut 1 s'il pleut, 0 sinon.

L'algèbre de Boole est l'ensemble des règles pour combiner ces variables. Elle repose sur trois opérations de base, que nous connaissons déjà dans le langage courant.

3.2 Les trois opérations de base

NON (négation, notée ¬A ou A barre) : inverse la valeur. « Il ne pleut pas » est vrai quand « il pleut » est faux.

ET (conjonction, notée A·B) : vaut 1 seulement si les deux valent 1. « Je sors si j'ai mes clés ET mon portefeuille » : il en faut deux.

OU (disjonction, notée A+B) : vaut 1 si au moins une des deux vaut 1. « Je prends un parapluie s'il pleut OU s'il vente » : l'une des deux suffit (et les deux ensemble aussi).

Une table de vérité liste toutes les combinaisons possibles des entrées et la sortie correspondante :

04Les portes logiques : de l'algèbre au composant

Une porte logique est un circuit électronique qui réalise une opération booléenne : elle prend un ou plusieurs bits en entrée et fournit un bit en sortie. L'algèbre de Boole donne les règles, les portes les réalisent en matériel.

Il existe une porte pour chaque opération de la section 3 (NON, ET, OU) et quelques combinaisons très utilisées : NAND (« NON-ET »), NOR (« NON-OU ») et XOR (« OU exclusif », vrai quand les deux entrées sont différentes). En les assemblant, on construit tout ce qu'un ordinateur sait calculer.

Exemple : pour additionner deux bits, la somme est un XOR des deux et la retenue un ET. Deux portes suffisent donc à poser 1 + 1 = 10 en binaire (somme 0, retenue 1). Shannon présentait déjà un additionneur en base deux à la fin de son mémoire de 1937.

05La bascule : donner une mémoire aux circuits

Un ordinateur doit retenir : le résultat d'un calcul pour l'utiliser à l'étape suivante, la touche que vous venez de taper, la valeur d'un compteur. Il lui faut un composant dont la sortie reste après la disparition de la commande, comme une lampe de chevet à interrupteur à bascule : on appuie une fois, elle s'allume et reste allumée, alors qu'un bouton-poussoir ne l'allume que tant qu'on appuie.

Ce composant s'appelle une bascule (en anglais flip-flop ou latch). Elle possède deux états stables : une fois placée dans un état, elle y reste, même quand la commande a disparu. Elle stocke ainsi un bit. Pensez à une bille posée dans un relief à deux creux : dans l'un ou l'autre, elle reste immobile, et il faut une poussée pour la faire passer de l'un à l'autre.

Le principe repose sur la rétroaction : on relie la sortie de chaque porte à l'entrée de l'autre, si bien que chaque porte « écoute » l'autre et la confirme. C'est exactement le circuit d'Eccles et Jordan, réalisé aujourd'hui avec des transistors.

Cela change tout. En plaçant 8 bascules côte à côte, on mémorise un octet : c'est un registre, brique de base d'un processeur. Un circuit qui sait se souvenir « où il en est » peut suivre une suite d'étapes, c'est-à-dire exécuter un programme. Une horloge (un signal régulier qui rythme les circuits) décide à quel instant chaque bascule enregistre sa donnée.

06Le binaire en électronique : de la tension au 0 et au 1

6.1 Un bit est une tension

Dans un circuit, un bit n'est pas un symbole abstrait : c'est une plage de tension électrique, mesurée en volts (V). Par convention, une tension basse représente 0 et une tension haute représente 1. Le composant qui fait la commutation est le transistor, un interrupteur commandé par un signal électrique : il laisse passer le courant (état « fermé ») ou le bloque (état « ouvert »).

Les technologies successives ont changé le composant, jamais le principe : relais électromécaniques, tubes à vide (comme dans le circuit d'Eccles et Jordan), puis transistors, aujourd'hui intégrés par milliards sur une seule puce.

6.2 Pourquoi deux niveaux seulement ? La marge de bruit

Le bruit est l'ensemble des perturbations électriques parasites qui s'ajoutent au signal (interférences, variations de l'alimentation, signaux des fils voisins). Avec seulement deux niveaux bien séparés, un petit parasite ne change pas l'interprétation. C'est la raison profonde du choix binaire en électronique : la robustesse.

Pour que deux circuits s'entendent, chaque famille de circuits fixe quatre tensions :

• VOL (tension de sortie à l'état bas, Output Low) : le maximum qu'un 0 émis peut atteindre.
• VOH (Output High) : le minimum qu'un 1 émis garantit.
• VIL (Input Low) : le maximum d'une entrée encore reconnue comme 0.
• VIH (Input High) : le minimum d'une entrée reconnue comme 1.

La marge de bruit est l'écart de sécurité entre ce qu'une sortie garantit et ce qu'une entrée exige. Prenons la famille TTL (Transistor-Transistor Logic), une famille historique de circuits logiques alimentée en 5 V et bien documentée. Les valeurs ci-dessous sont celles de la fiche technique Texas Instruments du SN7400 (porte NAND de la série TTL standard) :

Entre 0,8 V et 2,0 V, le niveau est indéterminé : l'entrée ne garantit aucune lecture. Ces valeurs sont des garanties de pire cas : la même fiche donne des valeurs typiques plus favorables (par exemple une sortie haute typique de 3,4 V).

Exemple chiffré : une porte émet un 0 à 0,4 V (pire cas). Un parasite de 0,3 V donne 0,7 V, inférieur à 0,8 V : le 0 est bien lu. À l'inverse, un 1 émis à 2,4 V avec un parasite de 0,5 V tombe à 1,9 V, sous les 2,0 V : la lecture n'est plus garantie. La marge de bruit garantie est ici de 0,4 V de chaque côté (0,8 − 0,4 et 2,4 − 2,0).

07Limites et idées reçues

• « L'ordinateur ne comprend que 0 et 1 » est une simplification. Il manipule des tensions et des interrupteurs ; les 0 et 1 sont notre manière de les noter.
• Le binaire n'est pas magique. Un bit seul ne veut rien dire : il faut une convention (codage) pour savoir s'il s'agit d'un nombre, d'une lettre ou d'une couleur.
• Le bruit n'est pas supprimé, il est contenu. Au-delà de la marge de bruit, les erreurs apparaissent, d'où les codes de détection et de correction d'erreurs dans les mémoires et les transmissions.
• Les états indéterminés existent. Zone interdite entre VIL et VIH, bascules qui peuvent hésiter entre 0 et 1 : le monde réel n'est jamais parfaitement binaire.
• L'histoire est plus nuancée que les raccourcis. Leibniz n'est pas le premier à avoir écrit des nombres en binaire (Harriot, Caramuel) ; ce n'est pas lui mais Bouvet qui a rapproché son système des hexagrammes chinois ; et Shannon n'est pas le seul à avoir relié l'algèbre de Boole aux circuits (Nakashima, Shestakov).

08Conclusion

Le binaire réunit trois choses qui s'emboîtent : un système de numération (de Harriot et Caramuel à Leibniz), une logique (Boole) et une réalisation physique (Nakashima, Shannon, Eccles et Jordan, puis le transistor). Les portes calculent, les bascules retiennent, les tensions portent le tout, et la marge de bruit rend l'ensemble fiable.

Ce qui frappe, c'est le décalage dans le temps : deux siècles séparent l'idée de Leibniz de son usage, et aucun des pionniers cités ne visait l'ordinateur. Comprendre le binaire, c'est donc comprendre comment des idées abstraites, nées ailleurs, deviennent des machines quand un autre domaine (ici l'électricité) leur offre un support.

La série se poursuit avec trois articles : l'algèbre de Boole et l'apprentissage du calcul, les bascules, et le binaire en électronique.

09Glossaire

• Algèbre de Boole : algèbre où les variables ne valent que 0 ou 1, avec les opérations ET, OU, NON.
• Bascule : circuit à deux états stables qui mémorise un bit.
• Bit : chiffre binaire, 0 ou 1.
• Bruit : perturbations électriques parasites s'ajoutant au signal.
• Codage : convention qui associe un sens (lettre, couleur…) à un nombre.
• Horloge : signal régulier qui rythme les circuits séquentiels.
• Marge de bruit : écart de tension garanti entre un niveau de sortie et le seuil d'entrée correspondant.
• NAND, NOR : portes « NON-ET » et « NON-OU », inverses du ET et du OU.
• Octet : groupe de 8 bits (256 valeurs).
• Porte logique : circuit réalisant une opération booléenne.
• Registre : groupe de bascules mémorisant plusieurs bits.
• Rétroaction : renvoi de la sortie d'un circuit vers son entrée.
• Table de vérité : tableau des sorties pour toutes les entrées possibles.
• Transistor : interrupteur commandé électriquement.
• TTL : famille historique de circuits logiques ; désigne aussi un ensemble de niveaux de tension.
• XOR : OU exclusif, vaut 1 si les deux entrées diffèrent.